Question

求解高三数学！！

设函数fx＝x | x-1 | +m，gx＝lnx。(1)当m＞1，求函数y＝fx在 [0，m ] 上的最大值。(2)记px＝fx－gx，若px有零点，求m取值范围。

Answer 1

（1）x>1时，f(x)=x^2-x+m，（从其图像可以得，f(x)在x=1/2时得最小值，则比较f(x)在x=0及x=m时的值，可求得在区间【0，m】的最大值。）f(0)=m, f(m)=m^2，因为m>1,所以m^2>m,所以，x>1时，f(x)在【0，m】上的最大值为m^2。
0<x<1时，f(x)=x-x^2+m,（从其图像可以得，f(x)在x=1/2时得最大值。）则最大值f(1/2)=1/2+m。
x=1时，f(1)=m,即最大值。
（2）p(x)=f(x)-g(x)=x|x-1|+m-lnx，(0,+∞)（先把绝对值化掉。）
则当x>1时，p(x)=x^2-x+m-lnx；
当0<x<1时，p(x)=x-x^2+m-lnx；
当x=1时，p(x)=m；
因为p(x)有零点，即p(x)=0存在。（但是直接求会比较困难，可以用单调性和求导。）
x>1,令p'(x)=2x-1-1/x>0，则p(x)在（1,+∞）单调递增；
0<x<1,p'(x)=1-2x-1/x<0，则p(x)在(0,1)单调递减；
已知p(x)有零点，所以只要p(1)<0即可，即m<0。