Question

设函数z=f(xy²,x²y) 其中f具有二阶连续偏导数，求∂²z/∂x²

设函数z=f(xy²,x²y) 其中f具有二阶连续偏导数，求∂²z/∂x²，∂²z/∂y²， ∂²z/∂x∂y

Answer 1

记：u=xy^2 v=x^2y z=f(u,v)
求：∂²z/∂x²， ∂²z/∂y²， ∂²z/∂x∂y
解：∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=(∂f/∂u)y^2+2xy(∂f/∂v) (1)
∂²z/∂x²=y^2{(∂²f/∂u²)(∂u/∂x)+(∂²f/∂u∂v)(∂v/∂x)}+2y(∂f/∂v)+2xy{(∂²f/∂u∂v)(∂u/∂x)+(∂²f/∂v²)
(∂v/∂x)}=y^2{y^2F''uu + 2xyF''uv}+2yF'v+2xy{y^2F''uv+2xyF''vv}
= y^4F''uu+4xy^3F''uv+4x^2y^2F''vv+2yF'v
∂²z/∂y²=x^4F''vv+4x^3yF''uv+4x^2y^2F''uu+2xF'u
∂²z/∂x∂y (1)式对y求导即可。此外：F''uv表示：∂²f/∂u∂v，其它类同。