Question

过椭圆x^2/9+y^2/4=1内一点P（2，0），引动弦AB，求弦的中点M的轨迹方程

求思维

Answer 1

以弦AB:y＝k(x-2)代入椭圆整理得
(9k^2+4)x^2-36k^2x+36(k^2-1)＝0.
设弦中点为(x,y),则依韦达定理得
x＝(x1+x2)/2＝18k^2/(9k^2+4) ……①
y＝k(x-2)＝-8k/(9k^2+4) ……②
当k＝0时，弦AB中点轨迹即点P本身，即x＝2.
当k≠0时，由①、②消去参数k得M点轨迹：
(x-1)^2+y^2/(2/3)^2＝1。

Answer 2

设弦AB的斜率为k A(x1,y1) B(x2,y2)
弦AB的方程为
y=k(x-1)
代入4x^2+9y^2=36
4x^2+9k^2(x-1)^2=36

x1+x2=18k^2/(9k^2+4)
中点M的横坐标x=9k^2/(9k^2+4)
y1+y2=-8k/(9k^2+4)
中点M的纵坐标y=-4k/(9k^2+4)
x/y=-9k/4
k=-4x/9y 代入x=9k^2/(9k^2+4)整理得
4x^2+4x+9y^2=0
4(x+1/2)^+9y^2=1