Question

一道线性代数n维向量的题目，求具体的分析和答案。谢谢

Answer 1

γ = x1 α1 + x2 α2 = y1 β1 + y2 β2
移项后：
x1 α1 + x2 α2 - y1 β1 - y2 β2 = 0
因为 α1、α2、β1、β2 为3维向量，最多有3个线性无关，所以它们4个线性相关。
所以，能找到不全为0的 x1、x2、-y1、-y2 使得上式为0
不妨设 x1 不为0
由于 α1、α2 线性无关，所以 γ = x1 α1 + x2 α2 ≠ 0

具体到：
α1 = [1,0,2]^T
α2 = [2,-1,3]^T
β1 = [-3,2,-5]^T
β2 = [0,1,1]^T
设3*4的矩阵：A = [α1 α2 β1 β2]，我们求解 AX = 0，得到 X = k [-2,1,0,1]^T
也就是：k (-2 α1 + α2 + β2) = 0
所以：γ = k (-2 α1 + α2) = k (-β2) = k [0, -1, -1]^T
其中 k 为任意实数。