Question

线性代数 考研数学 例题8 全体n维向量构成的向量组 这是什么意思

Answer 1

就是所有的n维向量共同构成一个向量组。
设 X = （x1,x2.....xn) 是一个n维向量，那么所有X可以取得的值，构成一组向量组，就是上面说的那个向量组了。

追问

那这道题为什么秩是n，这个怎么确定呢

追答

所有的n维向量有无限多个，但是相互线性无关的，有且只有n个，所以秩是n。

追问

你怎么知道他是线性无关的呢，

追答

看你开始发的那个图片中，书上写道：例4已经证明了n维单位坐标向量是线性无关的； 你去看下书中那个证明。那个是证明n个向量之间线性无关的。 然后，所有其他的n维向量都可以通过这n个单位向量变换组合出来；也就是说你任意加一个其他的向量都是和原来的n维单位坐标向量是相关的。

Answer 2

向量组：若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组．
所有的n维向量是同维数的(列)向量组成的集合，当然构成向量组了。

追问

那这道题为什么秩是n，这个怎么确定呢

追答

秩是最大无关组所包含向量的个数。e1，e2,...,en是它的一个最大无关组，含n个向量，故它的秩是n，而不是因为它们是n维向量。
注意：向量组的秩不一定等于向量组中向量的维数。
好好理解这些名词的定义，如向量的维数，向量组的秩，向量空间的维数等等。

Answer 3

（a1，……an)T
ai∈R，所有以上向量的集合

追问

那这道题为什么秩是n，这个怎么确定呢

追答

n维向量（1,,0……，0）
…………
（0,0…………1）
就是一组基，共有N个向量，秩就是n

追问

为什么要写成单位坐标向量，单位坐标向量肯定是n啊，

追答

因为显然这几个向量线性无关却又能表出所有n为向量，符合基的要求

追问

基是什么，我记得数3不考基，所以不懂

追答

线性无关却又能表出所有向量，基的维数就是秩，你要是不懂我也不知道该怎么讲了。。。

追问

再帮我看一下吧，财富值给你了

追答

线性无关就是不线性相关，满足线性无关的定义式即可，Σciai=0
ci为系数，ai为向量。
至于你写的那几个向量我不能确保，
但是（1,,0……，0）
…………
（0,0…………1）
是满足的，基向量的维数是确定的，只要能找出一组基，就能确定它的秩。

Answer 4

就是一个集合 他的元素是所有的n维向量