Question

已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,常数a∈R).

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由（2）若函数f(x)在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的范围

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x2
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）2=x2=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x2+
a
x
（x≠0，常数a∈R），
取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，
f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）．
∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设2≤x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=x21+
a
x1
-x22-
a
x2
=
(x1-x2)
x1x2
[x1x2（x1+x2）-a]，
要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，
必须f（x1）-f（x2）＜0恒成立．
∵x1-x2＜0，x1x2＞4，
即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．
又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x2）＞16，
∴a的取值范围是（-∞，16]．

Answer 2

这是双钩函数，有个基本公式

即f(x)=x²+a/x

1、函数是奇函数
证明：

首先函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称

f(-x)=-x-a/x=-(x²+a/x)=-f(x)

所以函数是奇函数

2、

若a＞0，
则函数f(x)在（-∞，-√a]和(√a，+∞）两个区间上分别单调递增，在[-√a,0)和[√a，0）两个区间上分别单调递减；

若a＜0
则函数f(x)在（-∞，-√-a]和[√-a，+∞）两个区间上分别单调递增，在(-√-a,0)和(0，√-a）两个区间上分别单调递减

根据上述结论，√|a|=2，a=±4

Answer 3

那个双钩函数的结论是错误的（最好麻烦证明一下）：
(√a，+∞）两个区间上分别单调递增~~[√a，0）两个区间上分别单调递减；