Question

关于小球在圆轨道上做圆周运动的问题（较复杂，共两问）……

　　

　　如图，我们知道，质量为m的小球静止在半径为R的光滑圆轨道的最底端，不计空气阻力，若使小球能在轨道上做完整的圆周运动，则小球在最底端至少应获得大小为
的初速度。
　　（计算方法：最高点向心力方程：

　　　　　　　　动能定理：
　　　　　　　　解得：）
　　
　　现在的问题是：
　　如果光滑圆轨道分别变为、、、圆弧（如图），其他条件不变，那么使小球在到达轨道尽头之前始终在轨道上沿逆时针方向运动（即不脱离，不折返）的最小初速度、、、分别是多少？请说明理由。【第Ⅰ问】
　　如果小球实际获得的初速度低于此最小初速度，则小球分别将做什么运动？为什么？【第Ⅱ问】

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Answer 1

设轨道尽头最小速度为v1，最低点速度为v2。

机械能守恒（或动能定理）

(1/2)mv2^2=(1/2)mv1^2 + mgR(1+cosθ)      

整理后，最低点速度为

v2=√(v1^2 + 2gR(1+cosθ))                   (1)

最低点速度为v2

重力mg、向心力Fn、轨道支反力N的关系：

N=Fn-mgcosθ=mv1^2/R-mgcosθ
(2)

小球脱离轨道的临界点是轨道支反力 N=0

即mv^2/R-mgcosθ=0

v1=√(gRcosθ)                                           (3)

将

                                 (a)

分别代入(3)式

v1=√(gR)，√(gR√2/2) ，0，0     (b) 

将

四组值分别代入 (2)是，求最低点速度：

4/8           v2=√((gR)+2gR(1+1))=√(5gR)

3/8   v2=√((gR√2/2+2gR(1+√2/2))=√(gR(3√2/2+2)

2/8   v2=√((gR)+2gR(1+1))=√(=√(0+2gR(1+0))=√(2gR)

1/8   v2=√((gR)+2gR(1-√2/2))=√(gR(2-√2))

Answer 2

在知道半径的条件下，可以根据任何一个图，列动能定理。只是重力功要好好的算一下啦。要根据小球升起的高度来算，其实跟你第一步一样。如果实际速度小于最大速度，那么他将做近心运动，也就是平抛或类平抛。