Question

线性代数证明题，第二小题，证明基础解系

Answer 1

证明

因为ηi(i=1,,,s) 是Ax=b的解
所以 Aηi=b, Aη0=b
两个式子相减得到A(ηi-η0)=b-b=0
所以ηi-η0(i=1...s) 是Ax=0的解

下面证明ηi-η0(i=1...s) 是线性无关的。
设k1(η1-η0)+k2(η2-η0)+k3(η3-η0)+.......+ks(ηs-η0)=0
展开整理后得到k1η1+k2η2+....+ksηs-(k1+k2+...+ks)η0=0
根据η0 η1.........ηs线性无关，所以k1=k2=...=ks=0
所以η1-η0, η2-η0..................ηs-η0是线性无关的。

且r(A)=n-s，所以Ax=0的基础解系中含有s个线性无关向量。
所以η1-η0, η2-η0..................ηs-η0是Ax=0的基础解系。