Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an（n∈N+）（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）定义f(k)＝20i＝1aiai+

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an（n∈N+）（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）定义f(k)＝20i＝1aiai+k?1（这里规定a21=a1，a22=a2，…，a39=a19），k=1，2，3，…，20，求f（k）的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）因为S_n=2-a_n（n∈N⁺），所以a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，所以a_n=-a_n+a_n-1，
即an＝

1

2

an?1．
所以an＝(

1

2

)n?1（4分）
（Ⅱ）由题设得，f（k）=a₁a_1+k-1+a₂a_2+k-1+…+a_21-ka₂₀+a_22-ka₁+…+a₂₀a_k-1（6分）
=

1

2k?1

+

1

2k+1

+…+

1

239?k

+

1

221?k

+…+

1

2k+17

=

4(220?1)

3?241

(2k+

222

2k

)（10分）
由函数g(x)＝x+

222

x

的性质可知，当k=11时，f（k）取到最小值

4(220?1)

3?219

．（14分）