Question

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G，下列结论（1

如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G，下列结论（1）∠ABE=∠ACD；（2）EG=MG；（3）GM=MF；（4）BG-FG=AF中，正确的序号是______．

Answer 1

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°，
而AD=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；所以（1）正确．
∴∠BEA=∠ADC，
又∵GF⊥DC，
∴∠FMC+∠DCM=90°，
而∠ADC+∠DCM=90°，
∴∠AEB=∠FMC，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，所以（2）正确．
过G作GN⊥BC交AF的延长于点N，连BN，如图，
∵∠6=90°-∠DCB，∠7=∠AFB=90°-∠2，
而∠1=∠4，
∴∠2=∠DCB，
∴∠6=∠7，
∴FC垂直平分GN，
∴FN=FG，且BN=BG，∠2=∠3，
又∵∠1+∠2+∠3=45°+∠2=45°+45°-∠1=90°-∠1，
∠BAN=90°-∠5，
而∠1=∠5，
∴∠1+∠2+∠3=∠BAN，
即∠ABN=∠BAN，
∴NA=NB，
∴BG=AN=AF+FN=AF+FG，所以（4）正确．
故答案为：（1），（2），（4）．

Answer 2

证明：过CP∥AB，AF的延长线于P，
易证△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BAP+∠ABE=90°，∠ACD+∠FMC=90°
∴∠BAP=∠FMC，
又∵AB∥PC，
∴∠BAP=∠P
∴∠FMC=∠P．
∵AF⊥BE，∠BAC=90°，
∵∠BAE=∠ACP=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠PAC+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠PAC，
∵AB=AC，
∴△ABE≌△CAP，
∴BE=AP．
∵CP∥AB，∠ACP=90°，∠ACB=45°，
∴∠MCF=∠PCF=45°，
∵

∠FMC＝∠P
∠MCF＝∠PCF
CF＝CF

，
∴△MCF≌△PCF，
∴MF=PF，∠P=∠FMC，
又∵∠FMC=∠GME，
∴∠GEM=∠GME，
∴GE=GM，
则BG=BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG=AF+FG．