Question

（x+y+z）4的乘积展开式中数字系数的和是______

（x+y+z）4的乘积展开式中数字系数的和是______．

Answer 1

∵（x+y+z）²=[（x+y）+z]²，
=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz，
∴（x+y+z）⁴=（x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz）×（x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz）；
上式中：x²，y²，z²分别与后面多项式相乘，积的系数相等，2xy，2xz，2yz与后面多项式相乘，积的系数相等，
∴系数分别为：1，1，1，2，2，2；2，2，2，4，4，4，
∴（x+y+z）⁴的乘积展开式中数字系数的和是：（1+1+1+2+2+2）×3+（2+2+2+4+4+4）×3=81，
故答案为：81．