Question

已知双曲线x2a2?y2b2=1（a，b＞0）的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为3．（Ⅰ）求双曲线的方程；（

已知双曲线x2a2?y2b2=1（a，b＞0）的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为3．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线l：x-my-2=0与双曲线相交于A，B两点，点B在右准线上的射影为点C，当m变化时，试研究直线AC是否过定点，并写出判断依据．

Answer 1

（I）取双曲线的渐近线y=

b

a

x，∵右焦点（c，0）到一条渐近线的距离为

3

．
∴

bc

a2+b2

=

3

，化为b=

3

．
又∵e＝

c

a

＝2，c²=a²+3，解得a²=1，c=2．
∴双曲线的方程为x2?

y2

3

＝1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x?my?2＝0 3x2?y2＝3

，化为（3m²-1）y²+12my+9=0，
y₁+y₂=-

12m

3m2?1

，y₁y₂=

9

3m2?1

．
∵双曲线的右准线为：x＝

1

2

．
∴C(

1

2

，y2)．
当m=0时，可得AB的方程：x=2．
可得A（2，-3），B（2，3），C(

1

2

，3)，
直线AC的方程为y+3＝

6

? 3 2

(x?2)，化为4x+y-5=0，
令y=0，可得x=

5

4

．
猜想直线AC过定点M(

5

4

，0)．
直线AP的方程为：y＝

y1

x1? 5 4

(x?

5

4

)，
令x=

1

2

，化为y=

3y1

5?4x1

=

3y1

?3?4my1

，
∵3y₁+（3+4my₁）y₂=3（y₁+y₂）+4my₁y₂=

?36m

3m2?1

+

36m

3m2?1

=0，
∴y=

3y1

?3?4my1

=y₂，
因此直线AM与准线x=

1

2

相交于点(

1

2

，y2)，即点C．
∴三点A，M，C共线．
综上可得：直线AC过定点M(

5

4

，0)．