Question

已知函数f(x)＝12e2x?e(ex+e?x)?x．（1）求函数f（x）的极值．（2）是否存在正整数a，使得方程f(x)＝f(?a

已知函数f(x)＝12e2x?e(ex+e?x)?x．（1）求函数f（x）的极值．（2）是否存在正整数a，使得方程f(x)＝f(?a)+f(a)2在区间[-a，a]上有三个不同的实根，若存在，试确定a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）由题意得f′（x）=e^2x-e（e^x-e^-x）-（12分）=

1

ex

(ex?e)(ex?1)(ex+1)，（3分）
则当e^x＜1或e^x＞e即x＜0或x＞1时f′（x）＞0，
当1＜e^x＜e即0＜x＜1时f′（x）＜0，
故函数f（x）在（-∞，0）与（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数，（5分）
则它的极大值为f(0)＝

1

2

?2e，极小值为f(1)＝?

1

2

e2?2．（7分）

（II）当a=1时，由（I）可知方程f(x)＝

f(?a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上最多只有两个根，故不符合题意．（9分）
又

f(?a)+f(a)

2

＝

1

4

(e2a+e?2a)?e(ea+e?a)，
设e^a+e^-a=t，则e^2a+e^-2a=t²-2，
设g(a)＝

f(?a)+f(a)

2

＝

1

4

t2?et?

1

2

＝

1

4

(t?2e)2?e2?

1

2

，（11分）
当a=2时，g(2)?f(1)＝

1

4

[(e2+e?2?2e)2?2e2+6]＜0，（这里可利用e≈2.7近似估算得出）
则方程f(x)＝

f(?a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上最多只有一个根．（13分）
当a≥3时，t=e^a+e^-a在a∈[3，+∞）上是增函数，
又t＞2e，则g（a）在a∈[3，+∞）上是增函数，则

f(?a)+f(a)

2

≥

f(?3)+f(3)

2

＞f(0)，
则方程f(x)＝

f(?a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上最多只有一个根．
故不存在正整数a，使得方程f(x)＝

f(?a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上有三个不同的实根．（15分）
解法2：设h(x)＝f(x)?

f(?a)+f(a)

2

，则函数h（x）与f（x）具有相同的单调性，且h（x）的极大值为h（0），极小值为h（1），又h(?a)h(a)＝?

1

4

[f(a)?f(?a)]2≤0，则h（x）区间[-a，a]上一定有零点，只有当h（0）＞0，h（1）＜0时才有可能出现三个零点，下面对正整数a进行讨论与验证（同上）．