Question

设函数f（x）=|x+a|-|x-4|，x∈R①当a=1时，解不等式f（x）＜2；②若关于x的不等式f（x）≤5-|a+1|恒成立

设函数f（x）=|x+a|-|x-4|，x∈R①当a=1时，解不等式f（x）＜2；②若关于x的不等式f（x）≤5-|a+1|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

①∵f（x）=|x+1|-|x-4|=

5，x≥4 2x?3，?1＜x＜4 ?5，x≤?1

，
∴当x≥4时，5＜2，这是不可能的；
当-1＜x＜4时，2x-3＜2，解得-1＜x＜

5

2

；
当x≤-1时，-5＜2恒成立，故x≤-1；
综上可得x＜

5

2

，
∴当a=1时，不等式f（x）＜2的解集为（-∞，

5

2

）；
②∵f（x）=|x+a|-|x-4|=|x+a|-|4-x|≤|（x+a）+（4-x）|=|a+4|，
要使f（x）≤5-|a+1|恒成立，须使|a+4|≤5-|a+1|，
即|a+4|+|a+1|≤5，
当a≤-4时，-（a+4）-（a+1）≤5，解得-5≤a≤-4；
当-4＜a＜-1时，a+4-（a+1）=3≤5恒成立，故-4＜a＜-1；
当a≥-1时，a+4+（a+1）=2a+5≤5，解得-1≤a≤0；
综上所述，-5≤a≤0．
∴实数a的取值范围为[-5，0]．