已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.(I)求抛物线C方程;(II
已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.(I)求抛物线C方程;(II)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的...
已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.(I)求抛物线C方程;(II)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A、B,若线段AB的中点 为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积.
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(I)由题意,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的坐标为(8,-8),
代入抛物线方程可得64=2p×8,∴2p=8,
∴抛物线C方程为y2=8x;
(II)∵不过原点的直线l2与l1垂直,∴可设l2的方程为x=y+m,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l2与x轴交点为M
直线方程代入抛物线方程,可得y2-8y-8m=0
△=64+32m>0,∴m>-2
由韦达定理得y1+y2=-8,y1y2=-8m,∴x1x2=m2,
由题意,OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0
∴m=8或m=0(舍去)
∴l2的方程为x=y+8,M(8,0)
∴S△FAB=
|FM||y1?y2|=3
=24
.
代入抛物线方程可得64=2p×8,∴2p=8,
∴抛物线C方程为y2=8x;
(II)∵不过原点的直线l2与l1垂直,∴可设l2的方程为x=y+m,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l2与x轴交点为M
直线方程代入抛物线方程,可得y2-8y-8m=0
△=64+32m>0,∴m>-2
由韦达定理得y1+y2=-8,y1y2=-8m,∴x1x2=m2,
由题意,OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0
∴m=8或m=0(舍去)
∴l2的方程为x=y+8,M(8,0)
∴S△FAB=
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(y1+y2)2?4y1y2 |
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