Question

设曲线积分∫ L[f（t）-ex]sinydx-f（x）cosydy与路径无关，其中f（x）具有一阶连续导数，且f（0）=0，则

设曲线积分∫ L[f（t）-ex]sinydx-f（x）cosydy与路径无关，其中f（x）具有一阶连续导数，且f（0）=0，则f（x）等于（　　）A．e?x?ex2B．ex?e?x2C．ex+e?x2-1D．1-ex+e?x2

Answer 1

令P（x，y）=[f（t）-e^x]siny，Q（x，y）=-f（x）cosy
根据曲线积分与路径无关，有：

?P(x，y)

?y

=

?Q(x，y)

?x

又：

?P(x，y)

?y

=

?

?y

[f（t）-e^x]siny
=[f（x）-e^x]cosy

?Q(x，y)

?x

=

?

?x

-f（x）cosy
=-f'（x）cosy
∴[f（x）-e^x]cosy=-f'（x）cosy
既有：f（x）-e^x=-f'（x）
即：f（x）+f'（x）=e^x
该方程一阶线性非齐次微分方程，先求通解．
其对应的齐次方程为：
f（x）+f'（x）=0
即有：

df(x)

f(x)

=-dx；
解得：f（x）=Ce^-x
令特解为：f^*（x）=Ae^x
代入方程：f（x）+f'（x）=e^x
解得：A=

1

2

∴特解为：f^*（x）=

1

2

e^x
于是：f（x）=

1

2

e^x+Ce^-x
又有：f（0）=0；
f（0）=

1

2

+C=0
∴C=-

1

2

；
∴f（x）=

1

2

e^x-

1

2

e^-x=

ex?e?x

2

；
故本题选：B．

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示