Question

如图，在?ABCD中，AD=2CD，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，连结EM．求证：∠DME=3∠AEM

如图，在?ABCD中，AD=2CD，M是AD的中点，CE⊥AB于点E，连结EM．求证：∠DME=3∠AEM．

Answer 1

解答：证明：如图，延长CD交EM的延长线于F，连接CM，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
∵平行四边形ABCD的边AB∥CD，
∴∠AEM=∠F，
在△AEM和△DFM中，

∠AEM＝∠F ∠AME＝∠DMF AM＝DM

，
∴△AEM≌△DFM（AAS），
∴EM=MF，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠AEC=90°，
∴EM=CM=MF，
∴∠MCE=∠MEC，∠MCF=∠F，
设∠AEM=x，则∠MEC=90°-x，
在△CEM中，∠EMC=180°-2（90°-x）=2x，
在△CMF中，∠MCF=∠F=x，
∵AD=2CD，M是AD的中点，
∴MD=CD，
∴∠CMD=∠MCF=x，
∴∠DME=∠EMC+∠CMD，
=2x+x，
=3x，
即：∠DME=3∠AEM．