Question

高数旋转体体积

设抛物线y=ax^2+bx,当0≦x≦1时，y≧0,已知它与直线y=0,x=1,所围成的面积为1/3，当a,b取何值时，此图形绕x轴形成的旋转体体积最小
只需要把算体积的式子写出来即可。

Answer 1

∫π(1²-x²)dy=π∫(1-y/2)dy=π(y-y²/4) 从0,1积分。
例如考虑y=f(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴旋转一周的体积公式为V=∫[a,b] πf²(x)dx
所以由y=f(x), y=g(x)在x=a, x=b围成的区域绕x轴一周的体积公式为V=∫[a,b] [πf²(x)-πg²(x)d]x，假设
f(x)≥g(x)
而在计算这种体积的时候一般不能用∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算
拿个最简单的例子来讲
f(x)=2,g(x)=1跟x=1,x=2为成的区域绕x轴旋转一周的体积计算中,所形成的立体是个去心圆柱。
∫[1,2] πf²(x)dx表示底面半径为2，高为1的圆柱体体积，
∫[1,2] πg²(x)dx表示底面半径为1，高为1的圆柱体体积，
V=∫[1,2] [πf²(x)-πg²(x)d]x表示所求的去心圆柱的体积
而∫[1,2] π[f(x)-g(x)]²dx=∫[1,2] π1²dx表示的是底面半径为1，高为1的圆柱体积，
此时f(x)-g(x)形成了一个新的曲线，它到x轴的距离刚好和f(x)与g(x)的距离一致。
而∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算的刚好是这条新的曲线绕x轴一周的旋转体体积。

Answer 2

面积=∫（0到1） axx+bx dx = a/3 + b/2 =1/3
体积=π∫（0到1） (axx+bx)^2 dx

另，抛物线y=xx之相应的面积=∫（0到1） xx dx =1/3
相应的体积=π∫（0到1） xxxx dx =π/5