Question

已知抛物线y=-x 2 -2x+a（a＞0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y= 1 2 x+ 1 2 a 与x

已知抛物线y=-x 2 -2x+a（a＞0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y= 1 2 x+ 1 2 a 与x轴相交于B点，与直线AM相交于N点；直线AM与x轴相交于C点（1）求M的坐标与MA的解析式（用字母a表示）；（2）如图，将△NBC沿x轴翻折，若N点的对应点N′恰好落在抛物线上，求a的值；（3）在抛物线y=-x 2 -2x+a（a＞0）上是否存在一点P，使得以P、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）已知抛物线：y=-x 2 -2x+a=-（x+1） 2 +a+1； ∴M（-1，a+1）， 易知：A（0，a），设直线MA的解析式为y=kx+b，则有： b=a -k+b=a+1 ， 解得 k=-1 b=a ， ∴直线MA：y=-x+a； （2）联立直线MA、直线BN的解析式有： y=-x+a y= 1 2 x+ 1 2 a ， 解得 x= a 3 y= 2a 3 故N（ a 3 ， 2 3 a）； 由题意知：N、N′关于x轴对称，那么N′（ a 3 ，- 2a 3 ）； 若点N′在抛物线的图象上，则有： -（ a 3 ） 2 - 2a 3 +a=- 2a 3 ， 解得a=9． 故点N′恰好落在抛物线上时，a=9； （3）分别过B、C、N作NC、BN、BC的平行线（如图），则四边形BP 1 CN、四边形BCP 2 N、四边形BCNP 3 都是平行四边形； 易知B（-a，0），C（a，0），N（ a 3 ， 2a 3 ）； 故P 1 （- 1 3 a，- 2 3 a），P 2 （ 7 3 a， 2 3 a）， P 3 （- 5 3 a， 2 3 a）； 把P 1 代入抛物线的解析式中，得： -（- 1 3 a） 2 -2（- 1 3 a）+a=- 2 3 a， 解得a=21； 把P 2 代入抛物线的解析式中，得： -（ 7 3 a） 2 -2× 7 3 a+a= 2 3 a， 解得a=- 39 49 ； 由于a＞0， 故此种情况不成立； 把P 3 代入抛物线的解析式中，得： -（- 5 3 a） 2 -2（- 5 3 a）+a= 2 3 a， 解得a= 33 25 ； 综上所述，存在符合条件的P点，且此时a的值为：a 1 = 33 25 ，a 2 =21．