Question

已知函数f（x）= x 2 +ax+11 x+1 (a∈R) ，若对于任意的x∈N * ，f（x）≥3恒成立，则a 的

已知函数f（x）= x 2 +ax+11 x+1 (a∈R) ，若对于任意的x∈N * ，f（x）≥3恒成立，则a 的最小值等于（　　） A． - 8 3 B．-3 C． -4 2 +3 D．-6

Answer 1

∵x∈N * ， ∴f（x）= x 2 +ax+11 x+1 ≥3恒成立，即x 2 +ax+11≥3x+3恒成立， ∴ax≥-x 2 -8+3x，又x∈N * ， ∴a≥- 8 x -x+3恒成立， 令g（x）=- 8 x -x+3（x∈N * ），∴a≥g（x） max ， 再令h（x）=x+ 8 x （x∈N * ）， ∵h（x）=x+ 8 x 在（0，2 2 ]上单调递减，在[2 2 ，+∞）上单调递增，而x∈N * ， ∴h（x）在x取距离2 2 较近的整数值时达到最小，而距离2 2 较近的整数为2和3， ∵h（2）=6，h（3）= 17 3 ，h（2）＞h（3）， ∴当x∈N * 时，h（x） min = 17 3 ．又g（x）=- 8 x -x+3=-h（x）+3， ∴g（x） max =- 17 3 +3=- 8 3 ． ∴a≥- 8 3 ． 故选A．