Question

（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有

（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

Answer 1

解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE；
②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分
在△ABD与△ACE中，
∵

AB＝AC ∠BAD＝∠CAE AD＝AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE…1分
延长BD交AC于F，交CE于H．
在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE…3分

（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分

Answer 2

（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE②结论：BD=CE，BD⊥CE，理由见解析（2）乙

（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE。
②结论：BD=CE，BD⊥CE。理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在Rt△ABD与Rt△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。
延长BD交AC于F，交CE于H。
在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC，
∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。
（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。
（1）①BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等

Answer 3

①BD=CE
②BD=CE,且BD⊥CE，以下进行证明：
因AB=AC，∠ABD=∠EAC，AD=AE
故△ABD≌△ACE
则BD=CE
延长BD交CE于F，
因∠ABD=∠ACF
则∠FBC+∠FCB=（∠ABC-∠ABD）+（∠ACB+∠ACF）
=∠ABC+∠ACB=90º
于是，∠BFC=90º
故BD⊥CE

Answer 4

（1）BD=CE，且BD⊥EC
（2）仍然是：BD=CE，且BD⊥EC

Answer 5