Question

已知函数f（x）=lnx-ax，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；

已知函数f（x）=lnx-ax，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x+2，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f(x)＝lnx?

2

x

，∴f′(x)＝

1

x

+

2

x2

，∴k=f'（1）=3，
又∵f（1）=-2，
∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-5=0；
（Ⅱ）由 f（x）＞-x+2，得lnx?

a

x

＞?x+2，
即 a＜xlnx+x²-2x，
设函数g（x）=xlnx+x²-2x，
则 g'（x）=lnx+2x-1，
∵x∈（1，+∞），
∴lnx＞0，2x-1＞0，
∴当x∈（1，+∞）时，g'（x）=lnx+2x-1＞0，
∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=-1，
∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x+2成立，
∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，
∴a≤-1．