(2013?常州)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC

(2013?常州)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、... (2013?常州)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的⊙O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与⊙O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB.(1)当OC∥AB时,∠BOC的度数为______;(2)连接AC,BC,当点C在⊙O上运动到什么位置时,△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值.(3)连接AD,当OC∥AD时,①求出点C的坐标;②直线BC是否为⊙O的切线?请作出判断,并说明理由. 展开
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我是姥爷0073
2014-10-02 · TA获得超过578个赞
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(1)∵点A(6,0),点B(0,6)
∴OA=OB=6,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴∠OBA=45°,
∵OC∥AB,
∴当C点在y轴左侧时,∠BOC=∠OBA=45°;
当C点在y轴右侧时,∠BOC=90°+∠OBA=135°;

(2)∵△OAB为等腰直角三角形,
∴AB=
2
OA=6
2

∴当点C到AB的距离最大时,△ABC的面积最大,
过O点作OE⊥AB于E,OE的反向延长线交⊙O于C,如图,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长,
∴OE=
1
2
AB=3
2

∴CE=OC+OE=3+3
2

△ABC的面积=
1
2
CE?AB=
1
2
×(3+3
2
)×6
2
=9
2
+18.
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,
△ABC的面积最大,最大值为9
2
+18.

(3)①如图,过C点作CF⊥x轴于F,
∵OC∥AD,
∴∠COF=∠DAO,
又∵∠ADO=∠CFO=90°
∴Rt△OCF∽Rt△AOD,
CF
OD
=
OC
OA
,即
CF
3
=
3
6
,解得CF=
3
2

在Rt△OCF中,OF=
OC2?CF2
=
3
3
2

∴C点坐标为(
3
3
2
3
2
);
故所求点C的坐标为(
3
3
2
3
2
).

②当C点坐标为(-
3
3
2
3
2
)时,直线BC是⊙O的切线.理由如下:
在Rt△OCF中,OC=3,CF=
3
2

∴∠COF=30°,
∴∠OAD=30°,
∴∠BOC=60°,∠AOD=60°,
∵在△BOC和△AOD中
OC=OD
∠BOC=∠AOD
BO=AO

∴△BOC≌△AOD(SAS),
∴∠BCO=∠ADO=90°,
∴OC⊥BC,
∴直线BC为⊙O的切线;
当C点坐标为(-
3
3
2
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