Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．求证：（1）DM=DA；（2）EB平分∠AEC

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．求证：（1）DM=DA；（2）EB平分∠AEC； （3）BE2=2AE?EC．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE=90°，AD=BC，
∵AB=2BC，AE=AB，
∴AE=2AD，
∴∠AED=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵M为AE的中点，
∴DM=AM，
∴△ADM为等边三角形，
∴DM=DA；

（2）∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵DC∥AB，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴EB平分∠AEC；

（3）作AH⊥BE，如图，
∵AB=AE，
∴EH=

1

2

BE，
∵∠AEB=∠BEC，
∴Rt△AEH∽Rt△BEC，
∴

AE

BE

=

EH

EC

，
∴BE?EH=AE?EC，
∴BE?

1

2

BE=AE?EC，
∴BE²=2AE?EC．