Question

已知函数f（x）=3x 2 -6x-5．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）设g（x）=f（x）-2x 2 +mx，其中m∈R，

已知函数f（x）=3x 2 -6x-5．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）设g（x）=f（x）-2x 2 +mx，其中m∈R，求g（x）在区间[l，3]上的最小值；（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x 2 -（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）不等式 f（x）＞4 即3x 2 -6x-9＞0 解得x＞3，或x＜-1 ∴不等式 f（x）＞4的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞） （2）g（x）=f（x）-2x 2 +mx=x 2 +（m-6）x-5 其图象是开口朝上，且以x= 6-m 2 为对称轴的抛物线 当 6-m 2 ＞3，即m＜0时，g（x）的最小值为g（3）=3m-14 当1≤ 6-m 2 ≤3，即0≤m≤4时，g（x）的最小值为g（ 6-m 2 ）= - m 2 +12m-56 4 当 6-m 2 ＜1，即m＞4时，g（x）的最小值为g（1）=m-10 （3）若不等式f（x）＜x 2 -（2a+6）x+a+b在x∈[1，3]上恒成立， 即不等式2x 2 +2ax-5-a-b＜0在x∈[1，3]上恒成立， 令h（x）=2x 2 +2ax-5-a-b ∵a∈[1，2]，故h（x）图象的对称轴x=- a 2 ∈[-1，- 1 2 ] ∴当x=3时，函数h（x）取最大值5a-b+13 故只须a∈[1，2]时，5a-b+13≤0恒成立即可； 即当a∈[1，2]时，b≥5a+13恒成立， ∴实数b的取值范围是[23，+∞）