Question

在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的

在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为 3 2 ．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△OAB的面积；（3）已知抛物线上一点M（4，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断：直线DE是否过定点？说明理由．

Answer 1

（1）∵ F( p 2 ，0) ， ∴ 圆心Q在线段OF的垂直平分线x= p 4 上 又∵ 准线方程为：x=- p 2 ， ∴ p 4 -(- p 2 )= 3 2 ，得p=2， ∴抛物线C：y 2 =4x； （2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），过F倾斜角为60°的直线L：y= 3 （x-1）． 由 y 2 =4x y= 3 (x-1) 得： y 2 - 4 3 3 y-4=0 ， ∴ y 1 + y 2 = 4 3 3 ， y 1 y 2 =-4 ， ∴ S △ = 1 2 ×|OF|×| y 2 - y 1 | = 1 2 ×1× ( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 = 1 2 ? 16 3 +16 = 4 3 3 ； （3）设直线 DE： x=my+t y 2 =4x ，可得y 2 -4my-4t=0，则△=16m 2 +16t＞0（*） 设D（x 1 ，y 1 ），E（x 2 ，y 2 ），则y 1 +y 2 =4m，y 1 y 2 =-4t， ∵ 0= MD ? ME =( x 1 -4， y 1 -4)?( x 2 -4， y 2 -4) =x 1 x 2 -4（x 1 +x 2 ）+16+y 1 y 2 -4（y 1 +y 2 ）+16 = y 1 2 4 ? y 2 2 4 -4( y 1 2 4 + y 2 2 4 )+16+ y 1 y 2 -4( y 1 + y 2 )+16 = ( y 1 y 2 ) 2 16 -( y 1 + y 2 ) 2 +3 y 1 y 2 -4( y 1 + y 2 )+32 =t 2 -16m 2 -12t+32-16m， 即t 2 -12t+32=16m 2 +16m得：（t-6） 2 =4（2m+1） 2 ， ∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4 代入（*）式检验均满足△＞0， ∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4， ∴直线过定点（8，-4）．（定点（4，4）不满足题意，故舍去）