Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，F为其焦点，点E的坐标为（2，0），设M为抛物线C上异于顶点

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x，F为其焦点，点E的坐标为（2，0），设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交抛物线C与点P，Q．（1）当MN⊥Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1=2k2．

Answer 1

（1）抛物线C：y²=4x的焦点F（1，0）．
当MN⊥Ox时，直线MN的方程为 x=1．
将x=1代入抛物线方程y²=4x，得y=±2．
不妨设M（1，2），N（-1，2），
则直线ME的方程为y=-2x+4，
由

y＝?2x+4  y2＝4x

，解得x=1或x=4，于是得P（4，-4）．
同理得Q（4，4），所以直线PQ的方程为x=4．
故直线PQ与x轴的交点坐标（4，0）；
（2）设直线MN的方程为x=my+1，
并设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由

x＝my+1 y2＝4x

，得y²-4my-4=0，
于是y₁y₂=-4 ①，从而x1x2＝

y12

4

?

y22

4

＝1②．
设直线MP的方程为x=ty+2，
由

x＝ty+2 y2＝4x

，得y²-4my-8=0，
∴y₁y₃=-8  ③，x₁x₃=4  ④．
设直线NQ的方程为x=ty+2，
由

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