Question

已知函数f（x）=ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．（1）求f（x）的解析式；

已知函数f（x）=ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[1e，e]上的单调区间和最值；（3）若存在实数m∈[-2，2]，函数g（x）=23x3lnx-29x3-（2m+n）x在（1，e）上为单调减函数，求实数n的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3ax²+2bxlnx+bx，（x＞0）．
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2，
∴

f′(1)=3a+b=2 f(1)=a=0

，解得

a=0 b=2

，
∴f（x）=2x²lnx．
（2）由（1）可知：f′（x）=4xlnx+2x=2x（2lnx+1），令f′（x）=0，解得x=e-

1

2

．

x	[ 1 e ， 1 e )	1 e	( 1 e ，e]
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：f（x）在[

1

e

，e]上的单调递增区间为(

1

e

，e]，单调递减区间为