Question

已知抛物线y=x2-2ax+a2-2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．（1）求A、P点的坐标

已知抛物线y=x2-2ax+a2-2的顶点为A，P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．（1）求A、P点的坐标（用含a的代数式表示）；（2）点Q在抛物线上，求线段PQ的最小值；（3）若直线y=x+a-2与该抛物线交于B、C两点，M点是线段BC的中点．当a的值在某范围内变化时，M点的运动轨迹是一条直线的一部分，请求出该直线的解析式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²-2ax+a²-2，
∴y=（x-a）²-2，
∴A（a，-2），
∵P点在该抛物线的对称轴上，且在A点上方，PA=3．
∴P（a，1）；
（2）∵点Q在抛物线y=x²-2ax+a²-2上，
∴设Q（m，（m-a）²-2），则PQ²=（m-a）²+[（m-a²）-3]²
令（m-a）²=n，则PQ²=n+（n-3）²=（n-

5

2

）²+

11

4

，
当n=

5

2

时，PQ²最小，即PQ最小
∴PQ的最小值=

11 4

=

11

2

；
（3）由

y＝x+a?2 y＝x2?2ax+a2?2

得x²-（2a+1）x+a²-a=0
∴x₁+x₂=2a+1
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2a-4=4a-3，
∴M（

2a+1

2

，

4a?3

2

），
设M（x₀，y₀）
∴x₀=

2a+1

2

，y₀=

4a?3

2

，
∴y₀=2x₀-

5

2

，
∴点M在直线y=2x-

5

2

上
又∵△=（2a+1）²-4（a²-a）＞0，则a＞-

1

8

，
∴x₀＞

3

8

∴直线为y=2x-

5

2

（x＞

3

8

）．