Question

已知抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P(2，4），A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物在线的三点． (I)求该

(I)求该抛物线的方程．

(II)若直线PA与PB的倾斜角互补，求线段AB中点的轨迹方程．

(III)若AB⊥PA，求点B的纵坐标的取植范围

Answer 1

令f(x)=ax^2+bx+c;
(I)：
顶点是坐标原点,即：
f(0)=c=0;且对称轴x=-b/(2a)=0;
又抛物线a不能为零，所以b=0;
把点P(2，4）代入函数，有：
f(2)=a×2^2＝4，得a=1；
综上，该抛物线的方程：f(x)=x^2;
(II):
直线PA与PB的倾斜角互补，设直线PA与PB的倾斜角分别为α，π－α；
由：tan（π－α）＝－tanα ；有
(y1-4)/(x1-2)=-(y2-4)/(x2-2);化简：
(y1+y2)/2=(x1y1+x2y2)/4+x1+x2+4=(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2-4)/4+4