Question

如图①所示，直线l 1 ：y=3x+3与x轴交于B点，与直线l 2 交于y轴上一点A，且l 2 与x轴的交点为C（1，0）．

如图①所示，直线l 1 ：y=3x+3与x轴交于B点，与直线l 2 交于y轴上一点A，且l 2 与x轴的交点为C（1，0）．（1）求证：∠ABC=∠ACB；（2）如图②所示，过x轴上一点D（﹣3，0）作DE⊥AC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标．（3）如图③所示，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A、C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度；若变化，确定其变化范围．

Answer 1

证明：（1）对于y=3x+3，令y=0，得3x+3=0，x=﹣1， ∴B（﹣1，0）． ∵C（1，0）， ∴OB=OC， ∴AO垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB； 解：（2）∵AO⊥BC，DE⊥AC， ∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°， ∴∠1=∠2． ∵AB=AC， ∴AO平分∠BAC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3． 对于y=3x+3，当x=0时，y=3， ∴A（0，3）， 又∵D（﹣3，0）， ∴DO=AO． ∵∠AOB=∠DOF=90°， ∴△DOF≌△AOB（ASA）， ∴OF=OB， ∴F（0，1）． 设直线DE的解析式为y=kx+b， ∴ ， 解得 ， ∴y= x+1， 联立 ， 解得 ， 所以，点G（﹣ ， ）； 解：（3）OM的长度不会发生变化，过P点作PN∥AB交BC于N点， 则∠1=∠Q，∠ABC=∠PNC， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠PNC=∠PCB， ∴PN=PC， ∵CP=BQ， ∴PN=BQ， ∵∠2=∠3， ∴△OBM≌△PNM（AAS）， ∴MN=BM． ∵PC=PN，PO⊥CN， ∴ON=OC， ∵BM+MN+ON+OC=BC， ∴OM=MN+ON= BC=1．