Question

已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE， 交BC于点P．（1）

已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE， 交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．

Answer 1

（1）证明：过点D作DF ∥ AB，交BC于F． ∵△ABC为正三角形， ∴∠CDF=∠A=60°． ∴△CDF为正三角形． ∴DF=CD． 又BE=CD， ∴BE=DF． 又DF ∥ AB， ∴∠PEB=∠PDF． ∵在△DFP和△EBP中， ∵ ∠BPE=∠FPD ∠PEB=∠PDF BE=FD ， ∴△DFP≌△EBP（AAS）． ∴DP=PE． （2）由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP． ∵D为AC中点，DF ∥ AB， ∴BF= 1 2 BC= 1 2 a． ∴BP= 1 2 BF= 1 4 a．