Question

在直角坐标系xOy中，点 M(2，- 1 2 ) ，点F为抛物线C：y=mx 2 （m＞0）的焦点，线段MF恰被抛物

在直角坐标系xOy中，点 M(2，- 1 2 ) ，点F为抛物线C：y=mx 2 （m＞0）的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k 1 、k 2 、k 3 ，问k 1 ，k 2 ，k 3 能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）焦点F的坐标为 (0， 1 4m ) ，线段MF的中点 N(1， 1 8m - 1 4 ) 在抛物线C上， ∴ 1 8m - 1 4 =m ，∴8m 2 +2m-1=0，∴ m= 1 4 （ m=- 1 2 舍）．  …（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线C：x 2 =4y，F（0，1）． 设l方程为： y+ 1 2 =k(x-2) ，A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）， 则由 y+ 1 2 =k(x-2) x 2 =4y 得：x 2 -4kx+8k+2=0，△=16k 2 -4（8k+2）＞0， 解得 k＜ 2- 6 2 或 k＞ 2+ 6 2 ．  由韦达定理可得， x 1 + x 2 =4k x 1 x 2 =8k+2 ，…（8分） 假设k 1 ，k 2 ，k 3 能成公差不为零的等差数列，则k 1 +k 3 =2k 2 ． 而 k 1 + k 3 = y 1 -1 x 1 + y 2 -1 x 2 = x 2 y 1 + x 1 y 2 - x 2 - x 1 x 1 x 2 = x 2 x 1 2 4 + x 1 x 2 2 4 - x 2 - x 1 x 1 x 2 = ( x 1 x 2 4 -1)( x 1 + x 2 ) x 1 x 2 = ( 8k+2 4 -1)?4k 8k+2 = 4 k 2 -k 4k+1 ，…（11分） ∵ k 2 =- 3 4 ，∴ 4 k 2 -k 4k+1 =- 3 2 ，8k 2 +10k+3=0，解得： k=- 1 2 ＜ 2- 6 2 （符合题意）， k=- 3 4 （此时直线l经过焦点F，k 1 =k 2 =k 3 ，不合题意，舍去），…（14分） 直线l的方程为 y+ 1 2 =- 1 2 (x-2) ，即x+2y-1=0． 故k 1 ，k 2 ，k 3 能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0． …（15分）