Question

（2012?德阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于

（2012?德阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE=CE；（2）若EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直径；（3）若EF与⊙O相切于点E，点C在线段FD上，且CF：CD=2：1，求sin∠CAB．

Answer 1

证明：（1）连接DE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°，即DE⊥AC，
又∵D是AC的中点，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE；
（2）在△ADE和△EFA中，

∠ADE＝∠AEF＝90° ∠DAE＝∠EAF

，
故可得△ADE∽△AEF，
从而

AE

AF

=

AD

AE

，即

AE

6

=

2

AE

，
解得：AE=2

3

cm；
即⊙O的直径为2

3

cm．
（3）∵∠CAB+∠ACB=90°，∠DEA+∠DAE=90°，∠DAE=∠ACB，
∴∠CAB=∠DEA，
∵CF：CD=2：1，点D是AC中点，
∴CF=2CD，AC=2CD，
∴AE=CE=AC=CF（斜边中线等于斜边一半）=2CD，
在RT△ADE中，sin∠DEA=

AD

AE

=

CD

2CD

=

1

2

．
故可得sin∠CAB=sin∠DEA=

1

2

．