Question

已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ

已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=log2an+1，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn＞42+4n成立的n的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，（1）
又a₂+a₃+a₄=28，将（1）代入得a₃=8．
所以a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3＝20 a1q2＝8

（3分）
解得

a1＝2 q＝2

或

a1＝32 q＝ 1 2

（6分）
又{a_n}是递增的，故a₁=2，q=2．（7分）
所以a_n=2ⁿ．（8分）
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，Sn＝

n2+3n

2

．（10分）
故由题意可得

n2+3n

2

＞42+4n，
解得n＞12或n＜-7．又n∈N^*．（12分）
所以满足条件的n的最小值为13．（13分）