Question

已知函数f（x）=（ax2-（a+1）x+1）ex，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[0

已知函数f（x）=（ax2-（a+1）x+1）ex，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=（x²-2x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+1）e^x=（x²-1）e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=1，
列表讨论如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

（2）由题意得，f′（x）=（2ax-a-1）e^x+[ax²-（a+1）x+1）e^x
=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由f（x）在区间[0，1]上单调递减得，f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
即ax²+（a-1）x-a≤0在[0，1]上恒成立，
令g（x）=ax²+（a-1）x-a，x∈[0，1]，
①当a=0时，g（x）=-x≤0在[0，1]上恒成立；
②当a＞0时，g（x）=ax²+（a-1）x-a过点（0，-a），
即g（0）=-a＜0，只需g（1）=a+a-1-a=a-1≤0，就满足条件；
解得a≤1，则此时0＜a≤1，
③当a＜0时，同理有g（0）=-a＞0，
∴ax²+（a-1）x-a≤0在[0，1]上不可能恒成立，
综上得，所求的a的取值范围是[0，1]．