Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1=BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）连接AB₁与A₁B相交于点M，连接MD，则点M为AB₁的中点．
又D为AC的中点，由三角形的中位线定理可得：MD∥B₁C．
又∵B₁C?平面A₁BD，MD?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）∵AB=B₁B，及直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴四边形ABB₁A₁为正方形，BB₁⊥B₁C₁．
∴A₁B⊥AB₁．
又AC₁⊥平面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
又AB₁∩AC₁=A．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁，∴A₁B⊥B₁C₁．
∵A₁B∩BB₁=B，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．
（3）设AB=a，CE=x，
∵B₁C₁⊥A₁B₁，在Rt△A₁B₁C₁中，有A1C1=

2

a，同理A₁B₁=a，∴C₁E=a-x．
∴A1E=

2a2+(a-x)2

=

x2-2ax+3a2

，BE=

a2+x2

，
∴在△A₁BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B?A1Ecos45°，
即a²+x²=2a²+x²+3a²-2ax-2

2

a

3a2+x2-2ax

×

2

2

．
∴

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