Question

如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB部分是倾角为37°的直轨道，BCD部分是以O为圆心、半径为R的

如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB部分是倾角为37°的直轨道，BCD部分是以O为圆心、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点，D点与O点等高，A点在D点的正下方．质量为m的小球在沿斜面向上的拉力F作用下，从A点由静止开始做变加速直线运动，到达B点时撤去外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，然后经过D点落回到A点．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g．求（1）小球在C点的速度的大小；（2）小球在AB段运动过程，拉力F所做的功；（3）小球从D点运动到A点所用的时间．

Answer 1

（1）在C点：由牛顿第二定律得，mg=m v 2C R 解得：v C = gR （2）已知θ=37°外力在AB段所做的功为W，由几何关系得：AB= R+Rsinθ cosθ =2R 从B到C，根据机械能守恒定律 1 2 m v 2B = 1 2 m v 2C +mg（R+Rcosθ） 从A到B，根据动能定理， W-mg2Rsinθ= 1 2 m v 2B 联立解得：W= 7 2 mg （3）从C到D，根据机械能守恒定律， 1 2 m v 2D = 1 2 m v 2C +mgR 解得：v D = 3gR 从C到A，根据机械能守恒定律， 1 2 mv 2A = 1 2 m v 2C +mg3R 解得：v A = 7gR 从D到A做匀加速直线运动，根据运动学公式， AD= 1 2 ( v D + v A ) t 解得：t=（ 7 - 3 ） R g 答： （1）小球在C点的速度的大小为 gR ； （2）小球在AB段运动过程，拉力F所做的功为 7 2 mg； （3）小球从D点运动到A点所用的时间为（ 7 - 3 ） R g ．