Question

（2012?佳木斯）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点

（2012?佳木斯）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=5：3；⑤S△EPM=18S梯形ABCD，正确的个数有（　　）A．5个B．4个C．3个D．2个

Answer 1

连接DF，AC，EF，如图所示：
∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC，
在△ABF和△CBE中，

AB＝CB ∠ABF＝∠CBE BF＝BE

，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，
在△AME和△CMF中，

∠BAF＝∠BCE ∠AME＝∠CMF AE＝CF

，
∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM=FM，
在△BEM和△BFM中，

BE＝BF BM＝BM EM＝FM

，
∴△BEM≌△BFM（SSS），
∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；
∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=∠CBN=45°，
∴∠AED=∠ABN=45°，
∴ED∥BN，选项②正确；
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，
∴AD=FC，又AD∥FC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF=DC，又AF=CE，
∴DC=EC，
则△CED为等腰三角形，选项③正确；
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=

1

2

AC，
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，
∴△EFM∽△CAM，
∴EM：MC=EF：AC=1：2，
设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，
设EB=y，则有BC=2y，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC=

EB2+BC2

=

5

y，
∴3x=

5

y，即x：y=

5

：3，
∴EM：BE=

5

：3，选项④正确；
∵E为AB的中点，EP∥BM，
∴P为AM的中点，
∴S_△AEP=S_△EPM=

1

2

S_△AEM，
又S_△AEM=S_△BEM，且S_△BEM=S_△BFM，
∴S_△AEM=S_△BEM=S_△BFM=

1

3

S_△ABF，
∵四边形ABFD为矩形，
∴S_△ABF=S_△ADF，又S_△ADF=S_△DFC，
∴S_△ABF=S_△ADF=S_△DFC=

1

3

S_梯形ABCD，
∴S_△EPM=

1

18

S_梯形ABCD，选项⑤错误．
则正确的个数有4个．
故选B