Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，O是AC，BD的交点．（1）证明：B1D1⊥OF；

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，O是AC，BD的交点．（1）证明：B1D1⊥OF； （2）证明：平面EB1D1∥平面BDF．

Answer 1

证明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是正方体
∴DF=BF，O是AC的中点，∴OF⊥BD
又∵BB₁∥DD₁，∴BB₁D₁D是平行四边形
∴B₁D₁∥BD，∴B₁D₁⊥OF…（6分）
（2）由（1）知B₁D₁∥BD，而B₁D₁?平面EB₁D₁，BD?平面EB₁D₁
∴BD∥平面EB₁D₁
取DD₁中点G，连接FG，∴FG∥AB且GF=AB
∴ABFG是平行四边形，∴AG∥BF
又∵AE∥GD₁且AE=GD₁，∴EAGD₁是平行四边形
∴AG∥ED₁，ED₁∥BF
而ED₁?平面EB₁D₁，BF?平面EB₁D₁，∴ED₁∥平面EB₁D₁
又ED₁∩B₁D₁=D₁，ED₁，B₁D₁?平面EB₁D₁
∴平面EB₁D₁∥平面BDF．…（14分）