Question

已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=12n2+112n；数列满足：b3=11，bn+2=2bn+1-bn，其前9项和为153（1）{bn}的

已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=12n2+112n；数列满足：b3=11，bn+2=2bn+1-bn，其前9项和为153（1）{bn}的通项公式；（2）设Tn为数列{cn}的前n项和，cn=6(2an?11)(2bn?1)，求使不等式T n＞k57对?n∈N+都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

（1）∵Sn＝

1

2

n2+

11

2

n，∴当n=1时，a₁=S₁=6；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

11

2

n?

1

2

(n?1)2?

11

2

(n?1)=n+5
经验证，当n=1时，上式也适合，
∴a_n=n+5；
∵b_n+2=2b_n+1-b_n，∴bn+1＝

bn+bn+2

2

，
∴{b_n}是等差数列，设其公差为d．
则

b1+2d＝11 9b1+36d＝153

解得

b1＝5 d＝3

，
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）∵c_n=

6

(2an?11)(2bn?1)

=

6

[2(n+5)?11][2(3n+2)?1]

=

2

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2n?1

?

1

2n+1

∴T_n=（1?

1

3

）+（

1

3

?

1

5

）+（

1

5

?

1

7

）+…+（

1

2n?1

?

1

2n+1

）=1?

1

2n+1

∵n∈N₊，∴T_n是单调递增数列，
∴当n=1时，（T_n）_min=T₁=1-

1

3

=

2

3

∴Tn＞

k

57

对?n∈N₊都成立，等价于（T_n）_min＞

k

57

成立，
即

2

3

＞

k

57

，解得k＜38
∴所求最大正整数k的值为37．