Question

已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2与a4的等差中项；（1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn

已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2与a4的等差中项；（1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=an-log2an，Sn=b1+b2+…+bn，求使不等式Sn-2n+1+47＜0成立的n的最小值．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项
∴a₁（2+q²）=3a₁q（1），a₁（q+q³）=2a₁q²+4（2）
由（1）及a₁≠0，得q²-3q+2=0，∴q=1，或q=2，
当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，
把q=2代入（2）得a₁=2，所以，a_n=2?2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=a_n-log₂a_n=2ⁿ-n．
所以S_n=b₁+b₂+…b_n=（2+2²++2ⁿ）-（1+2+…+n）=2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n² 
因为S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，所以2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n²-2ⁿ⁺¹+47＜0，
即n²+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．
故使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整数n的最小值为10．