Question

（2014?洛阳二模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1⊥底面ABCD，AB=22，AA1=4，E为

（2014?洛阳二模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1⊥底面ABCD，AB=22，AA1=4，E为AA1上一点，且A1E=3EA．（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面C1BD；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD与四棱锥C1-ABCD公共部分的体积．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接EO，C₁O，
∵四边形ABCD为正方形，AB=2

2

，
∴AC=4，AO=

1

2

AC=2，
∵A₁A=4，AE=3EA，
∴EA=1，
∴tan∠EOA=

1

2

，tan∠C₁OC=2，
∴∠EOA+∠C₁OC=90°，
∴EO⊥OC₁，
∵ED=3，EB=3，
∴ED=EB，
∴在△EBD中，EO⊥BD
∴EO⊥平面BDC₁．
又EO?平面BDE
∴平面C₁BD⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：设EC与AC₁交点为F，则四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分为四棱锥F-ABCD，
在矩形A₁ACC₁中，

CF

EF

＝

CC1

AE

=4，∴

CF

CE

=

4

5

，
∴F到AC的距离d=

4

5

AE=

4

5

，
∴F到平面ABCD的距离为

4

5

，
∴四棱锥F-ABCD的高为

4

5

，
∴V_F-ABCD=

1

3

?(2

2

)2?

4

5

=

32

15

，
∴四棱锥E-ABCD与四棱锥C₁-ABCD公共部分的体积为

32

15

．