Question

已知函数f（x）=ax3+x2-ax （a∈R且a≠0）．（I）若函数f（x）在{-∞，-1）和（13，+∞）上是增函数在（-

已知函数f（x）=ax3+x2-ax （a∈R且a≠0）．（I）若函数f（x）在{-∞，-1）和（13，+∞）上是增函数在（-113）上 是减函数，求a的值；（II）讨论函数g（x）=f(x)x-3alnx的单调递减区间；（III）如果存在a∈（-∞，-1），使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]（b＞-1），在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax³+x²-ax，
∴f′（x）=3ax²+2x-a，
∵函数f（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）上是增函数，在（-1，

1

3

）上是减函数，
∴-1，

1

3

为函数f（x）的两个极值点，
∴

f′(?1)＝0 f′( 1 3 )＝0

，即

3a?2?a＝0 a 3 + 2 3 ?a＝0

，解得a=1，
∴a的值为1；
（Ⅱ）∵g（x）=

f(x)

x

-

3

a

lnx，
∴g（x）=ax²+x-a-

3

a

lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞），
∴g′（x）=2ax+1-

3

ax

=

2a2x2+ax?3

ax

=

2a2(x? 1 a )(x+ 3 2a )

ax

，
当a＞0时，令g′（x）＜0，解得x∈（0，

1

a

），故g（x）的单调减区间为（0，

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