如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，若E、F分别为
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）EF∥平面PAD；（...
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ） EF∥平面PAD；（Ⅱ） 求证：平面PDC⊥平面PAD；（Ⅲ） 求二面角B-PD-C的正切值．
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法一：
（Ⅰ）证明：连接AC，在△CPA中EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD
（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD
所以，CD⊥平面PAD∴CD⊥PA，
又PA＝PD＝
AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠PAD＝
，
即PA⊥PD．又CD∩PD=D，且CD?面ABCD，PA?面ABCD，∴PA⊥面PDC
又PA?面PAD，∴面PAD⊥面PDC．
（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连接EM，MF，则EM⊥PD
由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B-PD-C的平面角．
在Rt△FEM中，EF＝
PA＝
a，EM＝
CD＝
a，tan∠EMF＝
＝
＝
，故所求二面角的正切值为
．
法二：
如下图，取AD的中点O，连接OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA＝PD＝
（Ⅰ）证明：连接AC，在△CPA中EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD
（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD
所以，CD⊥平面PAD∴CD⊥PA，
又PA＝PD＝
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即PA⊥PD．又CD∩PD=D，且CD?面ABCD，PA?面ABCD，∴PA⊥面PDC
又PA?面PAD，∴面PAD⊥面PDC．
（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连接EM，MF，则EM⊥PD
由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B-PD-C的平面角．
在Rt△FEM中，EF＝
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法二：
如下图，取AD的中点O，连接OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴∴PO⊥平面ABCD，
而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA＝PD＝
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