Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= 2 ，E

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= 2 ，E、F分别为PC、BD的中点．（I）求证：EF ∥ 平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

（I）证明：连接AC，由于E、F分别为PC、BD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，则EF为三角形CPA的中位线， 故有 EF ∥ PA． 再由PA?平面PAD，EF不在平面PAD内，可得EF ∥ 平面PAD． （Ⅱ）取AD得中点O，∵侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= 2 ，则PO垂直平面ABCD，且PO= PA 2 -AO 2 =1． 故三棱锥P-BCD的体积V= 1 3 ?S △BCD ?PO= 1 3 ? 1 2 ?2?2 ?1= 2 3 ．