Question

（2013?昌平区二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD=2，E

（2013?昌平区二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=22AD=2，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ） 求三棱锥P-BCD的体积；（Ⅲ） 在线段AB上是否存在点G，使得CD⊥平面EFG？说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC交BD于F，
∵ABCD为正方形，∴F为AC中点，
∵E为PC中点．
∴在△CPA中，EF∥AP．
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：如图，取AD的中点O，连接OP．
∵PA=AD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
又且PA=PD=

2

2

AD=2，∴△PAD是等腰直角三角形，
且AD=2

2

，PO=

1

2

AD＝

2

．
在正方形 ABCD中，S△BCD＝

1

2

×AD2＝

1

2

×(2

2

)2=4．
∴VP?BCD＝

1

3

S△BCD×PO=

1

3

×4×

2

＝

4 2

3

．
（3）存在点G满足条件，证明如下：
设点G为AB中点，连接EG、FG．
由F为BD的中点，∴FG∥AD，
由（I）得EF∥PA，且FG∩EF=F，AD∩PA=A，
∴平面EFG∥平面PAD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥平面EFG．
所以AB的中点G为满足条件的点．