Question

（2007?西城区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABC

（2007?西城区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD（2）求二面角A-PD-B的大小；（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

（1）证明：

平面PAD⊥底面ABCD 平面PAD∩底面ABCD＝AD AB⊥AD，AB?底面ABCD

?AB⊥平面PAD（3分）
又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD（4分）
（2）解：取PD的中点E，连接AE，BE
∴AB⊥平面PAD
∴AE是BE在平面PAD上的射影，
∵△PAD是正三角形，
∴AE⊥PD，AE＝

3

2

AD
由三垂线定理得BE⊥PD
∠AEB是二面角A-PD-B的平面角（7分）
在Rt△BAE中，∵tanAEB＝

AB

AE

＝

2 3

3

∴二面角A-PD-B的大小为arctan

2 3

3

（10分）
（3）解：取AD的中点F，连接AF，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，
∴PF⊥平面BCD
设点D到平面PBC的距离为h，
∵VD?PBC＝VP?BCD′
∴S_△PBC?h=S_△BCD?PF
在△PBC中，易知PB=PC=

2

，∴S△PBC＝

7

4

又S△BCD＝

1

2

，PF＝

3

2

，∴h＝

1 2 × 3 2

7 4

＝

21

7

即点D到平面PBC的距离为

21

7