Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=2，E、F分别为PC、BD

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=2，E、F分别为PC、BD的中点．（I）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

（I）证明：连接AC，由于E、F分别为PC、BD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，则EF为三角形CPA的中位线，
故有 EF∥PA．
再由PA?平面PAD，EF不在平面PAD内，可得EF∥平面PAD．
（Ⅱ）取AD得中点O，∵侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

，则PO垂直平面ABCD，且PO=

PA2?AO2

=1．
故三棱锥P-BCD的体积V=

1

3

?S_△BCD?PO=

1

3

?

1

2

?2?2?1=

2

3

．