（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛
（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，...
（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3），
∴
，解得a=-1，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）对称轴为x=?
=1，
令y=-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1，∴C（-1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得k=-1，b=3，
∴直线AB解析式为y=-x+3．
当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．
（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA-S△AOB
=
（OB+PN）?ON+
PN?AN-
OA?OB
=
（3+y）?x+
y?（3-x）-
×3×3
=
（x+y）-
，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=-x2+2x+3，代入上式得：
S△ABP=
（x+y）-
=-
∴
|
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）对称轴为x=?
| b |
| 2a |
令y=-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1，∴C（-1，0）．
如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（3，0）、B（0，3）可得：
|
∴直线AB解析式为y=-x+3．
当x=1时，y=2，∴D点坐标为（1，2）．
（3）结论：存在．
如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，AN=OA-ON=3-x．
S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA-S△AOB
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=-x2+2x+3，代入上式得：
S△ABP=
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
